Codifica binaria dei numeri naturali

La usuale rappresentazione decimale del numeri è basata sulla notazione posizionale delle cifre: il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione nella successione dei simboli che rappresentano il numero. Per esempio, la successione "1234" rappresenta 1x10³ + 2x10² + 3x10¹ + 4x10⁰. Una stessa cifra in posizioni differenti corrisponde quindi a valori diversi. Per un generico numero decimale composto da n cifre c si ha che:

c_n-1c_n-2...c₁c₀ = c_n-1x10^n-1 + c_n-2x10^n-2 + ... + c₁x10¹ + c₀x10⁰

Con una base di numerazione B diversa da zero si avrà:

c_n-1c_n-2...c₁c₀ = c_n-1xB^n-1 + c_n-2xB^n-2 + ... + c₁xB¹ + c₀xB⁰

Essendo B¹ = B e B⁰ = 1 si ottiene:

c_n-1c_n-2...c₁c₀ = c_n-1xB^n-1 + c_n-2xB^n-2 + ... + c₁xB + c₀

Dividendo il tutto per il valore della base B avremo:

che può essere scomposto in

c_n-1xB^n-2 + c_n-2xB^n-3 + ... + c₁+ c₀/B

Otteniamo quindi un:

quozionte = c_n-1xB^n-2 + c_n-2xB^n-3 + ... + c₁

resto = c₀

Si noti che il resto della divisione corrisponde all'ultima cifra del numero , espresso nella notazione caratteristica della base B. Applicando ripetutamente questo processo è possible ottenere tutte le cifre del numero. Nel caso della numerazione binaria la base è B = 2, l'alfabeto comprende quindi due sole cifre, 0 e 1. Per esepio proviamo a convertire il numero 8_dieci in un numero binario:

8_dieci : 2_dieci = quoziente 4_dieci resto 0_dieci (cifra binara meno significativa)

4_dieci : 2_dieci = quoziente 2_dieci resto 0_dieci

2_dieci : 2_dieci = quoziente 1_dieci resto 0_dieci

1_dieci : 2_dieci = quoziente 0_dieci resto 1_dieci (cifra binara più significativa)

Leggendo i resti dal basso verso l'alto si ottiene il numero binario 1000_due
Infatti 1000_due = 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 0x2⁰ = 8_dieci

La regola per convertire un numero dalla notazione decimale alla binaria è quindi:

1. Dividere il numero decimale per due.

2. Assegnare il resto come valore del bit, partendo dal meno significativo.

3. Continuare a dividere per due il quoziente finché non diventa uguale a zero.

Di seguito sono riportati i primi 16 numreri decimali rappresentati nel sistema binario e in quello decimale.

Supponiamo ora di dover convertire 0.25_dieci. In modo analogo a quello dei numeri naturali avrò:

0.25_dieci x 2_dieci = 0.50_dieci prima della virgola rimane 0_dieci

0.50_dieci x 2_dieci = 1.0_dieci prima della virgola rimane 1_dieci

Leggendo in questo caso dall'alto verso il basso otterrò 0,25_dieci = 0.01_due. Non sempre avrò una successione finita di bit, per esempio convertiamo 0.23_dieci.

0.23_dieci x 2_dieci = 0.45_dieci prima della virgola rimane 0_dieci

0.45_dieci x 2_dieci = 0.92_dieci prima della virgola rimane 0_dieci

0.92_dieci x 2_dieci = 1.84_dieci prima della virgola rimane 1_dieci

0.84_dieci x 2_dieci = 1.68_dieci prima della virgola rimane 1_dieci

0.68_dieci x 2_dieci = 1.36_dieci prima della virgola rimane 1_dieci

0.36_dieci x 2_dieci = 0.72_dieci prima della virgola rimane 0_dieci

Non si arriva mai ad avere 1.00, quindi si potrebbe continuare all'infinito. Più bit uso e più precisa sarà la conversione. In questo caso 0.23_dieci = 0.001110_due.

Con una succesione di n bit (cifre) si rappresnetano 2ⁿ numeri naturali, da 0 a 2ⁿ-1. Nella tabella sopra riportata infatti n è uguale a 4 e vengono quindi rappresentati 2⁴ = 16 numeri, da 0 a 15. La lunghezza delle successioni di bit stabilisce quindi il massimo numero che può essere rappresentato. Nei linguaggi di programmazione per i numeri naturali si utilizzano abitualmente successioni di 32 bit. A causa di un minor numero di simboli dell'alfabeto binario rispetto a quello decimale, occorrono più cifre per rappresentare un numero. Per rendere più sintetica la rappresentazione dei numeri manipolati dai calcolatori si sceglie di scriverli in base 16, detta esadecimale.

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