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Un sistema di generatori {v1, v2, ... , vn} di uno spazio vettoriale V costituito da vettori linearmente indipendenti si chiama base di V. Ogni spazio vettoriale ammette una base canonica (che si ottiene scrivendo il vettore generico e considerando tutti i vettori che si ottengono ponendo uguale ad 1 uno dei parametri che lo compongono, e 0 tutti gli altri).
Se D={v1, v2, ... , vn} è un insieme di vettori linearmente dipendenti di V
esiste un vettore vi
D che è combinazione
lineare dei vettori vk , con k < i.
Se D è un sistema di generatori, eliminando vi dipendente dai precedenti si ha ancora un sistema di generatori. Nell'esempio precedente:
TEOREMA.
Sia V spazio vettoriale su K e sia G={v1, v2, ... , vn} un sistema di generatori
di V. Da G si può estrarre una base B per V. Basta, partendo dall'ultimo, eliminare
via via i vettori dipendenti. L'insieme rimane un insieme di generatori e quando
si sono tolti tutti i vettori dipendenti otteniamo una base. .
TEOREMA (della dimensione).
Sia V spazio vettoriale su K e sia B una base per V. Se B è costituita da n
vettori, ogni altra base di V è costituita da n vettori. Si dice quindi che
V ha dimensione n.
Per esempio dim(Q2) = 2, dim(Q2[x]) =3, dim(M2x2(Q))=4
in quanto la base canonica è costituita da rispettivamente 2, 3 e 4 vettori.
Sia V spazio vettoriale su K di dimensione n, due delle tre condizioni implicano
la terza: .
G è insieme generatore.
G è insieme indipendente .
G è costituito da n vettori .
da cui si può dedurre che: .
n vettori indipendenti sono una base. .
n vettori generatori sono una base.
TEOREMA (di completamento della base).
Sia V spazio vettoriale su K di dimensione n, e sia I un insieme indipendente
costituito da k vettori. Esiste una base di V costituita dai k vettori di I
e da n-k vettori presi da una base qualsiasi di V. In altre parole, si può completare
I in modo da avere una base di V, e i vettori che servono si possono scegliere
da una base qualsiasi, ad esempio la base canonica.
ESEMPIO
Considerare i seguenti sottospazi e il sistema di generatori assegnato. Dal
sistema di generatori ricavare una base. Completare tale base con opportuni
vettori della base canonica in modo da avere una base di tutto lo spazio. in
Q3 su Q
dal sistema di generatori G estraiamo una base:
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