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Equazione diofantea è una equazione algebrica a coefficienti
interi, della quale si ricerchino soltanto le soluzioni intere.
TEOREMA. L'equazione ax + by = c (con a, b, c 
Z) ammette soluzioni
intere se e solo se c è un multiplo di MCD(a,b).
In particolare, se a e b sono primi tra loro, esistono soluzioni intere.
ax + yb=c -> ax 
c mod b.
TEOREMA. Un elemento [a] Zn ammette
l'inverso (rispetto al prodotto) se e solo se MCD(a, n)=1. .
Conseguenze:
In Zp, con p primo, ogni elemento diverso da [0] ammette inverso ([0] non ammette inverso poiché MCD(p,0) = p).
In Zp, con p primo, non ci sono divisori dello zero, cioè non
esistono [a],[b]Zp, entrambi diversi da [0], tali che [a]·[b]
= [0]
In Zp, con p primo, vale la legge di cancellazione del prodotto:
se [a]·[b] = [a]·[c] e [a] 
[0] allora [b] = [c]. In altre parole, se ab
ac (mod p), e a 0 (mod p)
allora b c (mod p).
In Zn, se n non è primo, la legge di cancellazione vale se e solo se l'elemento a è invertibile in Zn, cioè se e solo se MCD(a,n) = 1.
Per risolvere l'equazione diofantea a x + b y = c, con a, b,
c Z, possiamo supporre MCD(a,b) = 1: altrimenti dividiamo
entrambi i membri dell'equazione per MCD(a,b).
4x+6y=9 no
4x+6y=24 sì -> 2x+3y=12
L'equazione data è equivalente all'equazione a x - c = -b y; quindi
(x, y) è una soluzione se e solo se a x - c è multiplo di b, cioè se
e solo se a x c (mod b).
Poiché per ipotesi MCD(a,b) = 1, esiste in Zb l'inverso [a'] di [a];
moltiplicando ambo i membri per a' , a' a x
a' c (mod b); ma a' a
1 (mod b), dunque x a' c (mod b). I corrispondenti
valori di y si ricavano, per ogni x, dall'equazione.
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