Matematica del discreto

La divisione in N

In N non è possibile in generale effettuare la divisione, è invece possibile determinare in modo univoco il quoziente e il resto della divisione tra due numeri naturali, purché il secondo non sia 0. Dati a e b (b 0), il quoziente q e il resto r sono indicati con :

Se a div b = q, e a mod b = r, allora a = q b + r
Esempio: 44 div 6 = 7 ; 44 mod 6 = 2; 44=7.6+2

TEOREMA. Se a, b N, e b 0, allora esistono sempre due numeri naturali q e r tali che:

Inoltre q e r sono univocamente determinati.
Se a mod b = 0 allora si dice che b è un divisore di a, oppure che b divide a (si indica con b|a) , oppure che a è un multiplo di b.
Ogni numero naturale n > 1 ammette almeno 2 divisori: 1 e n stesso.
Secondo la definizione di divisore posta, il numero 0 ammette come divisore un qualsiasi numero naturale n: infatti 0 = 0×n. Per trovare il numero di divisori di un numero naturale n si utilizza il seguente teorema:

Se n = p₁^e1p₂^e2...p_k^ek allora il numero (n) dei divisori di n è:

(n) = (e₁ + 1)(e₂ + 1) ... (e_k + 1)

Esempio 144 = 2⁴·3² ; (n) = (4 +1)(2+1 )= 15; ha 15 divisori: 1, 2, 4, 8, 16, 3, 9, 6, 12, 24, 48, 18, 36, 72, 144

Un numero naturale p N si dice primo se ammette esattamente due divisori: 1 e p . Se un numero ha più di 2 divisori, e quindi non è primo, si dice composto.
Per saperne di più consulta i seguenti approfondimenti:

• I numeri primi

• Massimo comun divisore

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