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La definizione più semplice e intuitiva di frattale lo descrive come una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari. Il termine frattale fu coniato da Mandelbrot e ha origine nel termine latino fractus, poiché la dimensione di un frattale non è intera. In natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa. L' atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito:
Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.
Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. (la funzione è ricorsiva: F = {Z | Z = f(f(f(...)))}
Dimensioni di autosimilarità: La caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.
Ingrandendo un qualsiasi tratto di curva frattale si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso del precedente; questo procedimento di "zoom" può proseguire all'infinito. Da ciò derivano due curiose caratteristiche delle curve frattali.
pur essendo continue non ammettono una tangente unica in alcun punto;
presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita.
Quanto è lunga la costa della Sardegna? La domanda può sembrare banale ma la risposta, se non avete mai sentito parlare dei frattali, vi sorprenderà: la sua lunghezza è infinita! Come si può arrivare a giustificare una simile affermazione? Beh, diciamo subito che si tratta solo di una estrapolazione matematica, tuttavia il risultato lascia senza parole. Proverò a spiegarlo gradualmente iniziando con un esempio:
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