I gruppi ciclici

Sia dato un gruppo (A, @) e un suo elemento a.
Consideriamo gli elementi:
a, a @a, a @ a @ a, a @ a @ a @ a, ...
cioè le potenze di a che indicheremo con i simboli
a¹, a², a³, a⁴, ...
Inoltre poniamo per definizione
a⁰ = u a^-n = (a^-1 )ⁿ =(aⁿ)^-1
dove con a^-1 indichiamo l'inverso di a. Abbiamo così definito tutte le potenze di a ad esponente intero e non solo naturale.

Dato un elemento a(A, @), l'insieme di tutte le potenze di a in A è un sottogruppo di A
DEFINIZIONE. Un gruppo (A, @) si dice ciclico se tutti i suoi elementi si possono esprimere come potenze di uno stesso elemento aÎA.
Si dice che l'elemento a è un generatore del gruppo A, oppure che A è generato da a.

(Z,+) è un gruppo ciclico infinito generato da +1
I gruppi (Zn,+) sono tutti gruppi ciclici generati dall'elemento 1.
Ogni gruppo ciclico può avere più di un generatore:
Il gruppo (Z*5,x) = {1, 2, 3, 4} è un gruppo ciclico generato da:

TEOREMA. Ogni gruppo ciclico è abeliano.
Quindi qualunque gruppo non abeliano non è un gruppo ciclico.
TEOREMA. L'insieme B di tutte le potenze gⁿ di un elemento di un gruppo (A,@) formano un sottogruppo (ciclico) di A.
TEOREMA. Se l'ordine di un gruppo finito (A,@) è un numero primo p, allora A è un gruppo ciclico (e quindi abeliano).
TEOREMA. Un gruppo ciclico può avere solo sottogruppi ciclici. (Se un gruppo non è ciclico può avere sia sottogruppi ciclici che non ciclici.)
Dimostrazione.
Sia (G,@) un gruppo ciclico generato da un suo elemento g e sia H un suo sottogruppo di G.
(G,@) = {g, g², …. gⁿ =u} se è finito
(G,@) = {..., g^-2, g^-1 , u, g, g², …. gⁿ ….} se è infinito.
Gli elementi di H sono particolari potenze di g, di cui almeno una ha esponente positivo (perché se g^-k H, con k>0, anche g^k H, poiché H è un gruppo).
H={ … g^-s, g^-r, g^-k, u, g^k, g^r, g^s,…}
Mettiamo in ordine crescente tutte le potenze positive di g in H. Avremo: g^k, g^r, g^s…. con k < r < s … Il teorema è dimostrato se mostriamo che r = 2k, poiché poi lo stesso ragionamento porta a dire che g^k è generatore di H. Poiché k < r può essere:
k < r <2k oppure
r = 2k oppure
r > 2k.
Mostriamo che la opzione centrale è quella vera, mostrando che le altre due sono false. La terza è falsa perché H è un gruppo, quindi se contiene g^k contiene anche g^2k, quindi ci sarebbe una potenza di g tra g^k e g^r contro quanto detto. Se fosse vera la prima, poiché H è un gruppo, anche g^r-k H, mentre abbiamo detto che k è il più piccolo esponente positivo.

Con (Zn*, x ) se n è primo, (Zp*, x) ha come elementi {1,…, p-1}, quindi ha ordine p-1. È sempre ciclico; generatori sono tutti i k tali che MCD (p-1,k)=1. Se n non è primo ci sono diversi casi, vediamo qualche esempio:

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