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Date due matrici A e B la prima di tipo mxn e la seconda di tipo nxp è possibile definire un prodotto, detto prodotto righe per colonne, nel modo seguente: si considera la prima matrice come un accostamento di righe e la seconda come un accostamento di colonne e si eseguono i prodotti dei vettori.
Il prodotto righe per colonne è associativo.
Il prodotto righe per colonne non è di solito commutativo, anzi a volte può
essere definito il prodotto AB e non il prodotto BA.
L'unità è la matrice I = [
i
k ] ove i k =
0 se i
k e di k =1 se i = k. Studiamo
inizialmente (M2x2[K],+,x)
Poiché due matrici sono uguali se hanno gli stessi elementi, deve risultare:
in questo sistema le variabili sono x, y, z, t e si tratta in realtà di due sistemi di due equazioni in due incognite.
moltiplicando la prima per c e la seconda per -a e sommando
abbiamo: (cb - ad) z = 
; quindi
vediamo che il sistema può aver soluzioni solo se
= ad - bc 0. Tale numero
viene chiamato determinante della matrice A.
Svolgendo i conti per entrambi i sistemi si ottiene che la matrice inversa
A-1, da cui AxA-1=I:
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