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Negli spazi vettoriali un insieme di vettori di uno spazio vettoriale si dice sistema di generatori se ogni vettore v dello spazio vettoriale si scrive come combinazione lineare dei vettori dell'insieme. I coefficienti della combinazione lineare sono le componenti di v rispetto al sistema di generatori scelto.
Lo spazio vettoriale V sul campo K si dice finitamente generato
se esiste un sistema di generatori per V costituito da un numero finito di vettori.
Sia V spazio vettoriale sul campo K e sia {v1, v2, ... , vn} un sistema di generatori
di V. Il vettore nullo può avere componenti nulle, poiché
0v1+0v2+ ... +0vn=0,
Un insieme di vettori {v1, v2, ... , vn} si dice linearmente
indipendente se la combinazione lineare a1v1+a2v2+ ... +anvn rappresenta
il vettore nullo solo quando a1=a2= ... =an=0.
Se il vettore nullo è rappresentato in modo univoco in un sistema di generatori
{v1, v2, ... , vn}, anche ogni altro vettore è rappresentato in modo univoco:
infatti per assurdo, se fosse
v = a1v1+a2v2+ ... +anvn e v = b1v1+b2v2+ ... +bnvn
si avrebbe
0 = (a1- b1)v1+(a2- b2)v2+ ... +(an- bn)vn
e poiché lo 0 è rappresentato in modo univoco,
a1= b1, a2= b2, ... , an= bn.
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