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Questa rappresentazione (che richiederà il calcolo di angoli non canonici ma si dimostrerà molto utile) nasce dall' idea di Gauss secondo cui il numero complesso può essere associato da una coppia di numeri, ed è di conseguenza rappresentabile come un punto su un asse cartesiano. Dato un numero complesso z = a + ib = (a, b), possiamo pensare le quantità a e b come l'ascissa e l'ordinata di un punto nel piano.
Sulla base del teorema di Pitagora 
.
Per determinare l'angolo 
bisogna ricordare i teoremi di trigonometria sui triangoli
rettangoli:
Si possono determinare le quantità "r" e ,
pertanto il numero complesso si può scrivere: 
, tale
rappresentazione si chiama forma trigonometrica di un numero complesso.
La quantità "r" si chiama modulo di z e l'argomento di
z. Questa rappresentazione è valida per ogni numero tranne che per il numero
complesso nullo z=0+i0, perché l'angolo è indeterminato. La rappresentazione
trigonometrica di numeri complessi è particolarmente comoda nel caso si debbano
eseguire prodotti e quozienti di numeri complessi.
Dalle precedenti ricaviamo la potenza di un numero chiamata formula di De Moivre con:
Mediante tale relazione è possibile risolvere l'equazione algebrica zn = 1. Determinare le radici di quest' equazione significa determinare gli n numeri (in generale complessi) z1, z2, …, zn, tali che:
Il numero complesso 1 = 1 (cos 0 + i sen 0) si può anche scrivere
come 1 = 1[cos(o + 2k
) + i sen(o + 2k)]
ora bisognerà lavorare su zn ,poniamo z = r (cos a + i sen a) da
cui zn= r n (cos n + i
sen n ). Uguagliando ottengo che
rn (cos n + i sen n
) = 1[cos(o + 2k) + i sen(o + 2k)].
Ora i due numeri complessi sono espressi con la medesima notazione. Eguagliando
la parte reale e la parte immaginaria si ricava:
Da cui dobbiamo ricavare r ed a. Elevando al quadrato e sommando membro a membro otteniamo:
Si ottengono pertanto n coppie di valori che soddisfano l'equazione iniziale. Avranno valore solo i valori da 1 a n - 1.
Se si riportano sul piano complesso le radici appena trovate, si dimostra che si dispongono come i vertici di un poligono regolare che contiene l'origine.
Vedi esempi:
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