|
|
Un numero naturale p 
N si dice primo se ammette esattamente due divisori: 1 e p . Se un
numero ha più di 2 divisori, e quindi non è primo, si dice composto.
1 non è un numero primo, ma neppure composto.
TEOREMA. L'insieme dei numeri primi è infinito. La dimostrazione di questo teorema
è dovuta ad Euclide 325-265 aC, ed è una dimostrazione per assurdo.
Sia 2, 3, 5, 7, 11, ..., p l'elenco di tutti i numeri primi. Consideriamo
il numero:
P = (2·3·5·7·11· ...·p ) + 1
Se P è primo abbiamo trovato un numero primo maggiore dei numeri primi elencati,
Se invece è composto, poiché non è divisibile per nessun numero primo dell'elenco assegnato, in quanto dà resto 1, (cioè non ha fattori in comune con essi), è divisibile per un primo maggiore di p.
In ogni caso abbiamo ottenuto l'assurdo di avere un numero primo maggiore di p.
ESEMPIO
Supponiamo di conoscere soltanto i numeri primi 2 e 3.
Allora Q ={2,3}, P = 2 3 + 1 = 7, che è primo. Aggiungo 7 a Q e ho Q = {2, 3, 7}. Al passo seguente ho P = 2 3 7 + 1 = 43. Anche 43 è primo. Lo aggiungo al bottino: Q = {2, 3, 7, 43}. Proseguo, P = 2 3 7 43 + 1 = 1806 = 13 139. Due nuovi individui! Ora Q = {2, 3, 7, 43, 13, 139},
P = 2 3 7 13 139 + 1 = 3263443 che è primo, etc. etc.…
Non conosciamo una formula che dia, se non tutti, almeno infiniti
numeri tutti primi. Alcune formule o teoremi danno un elenco di infiniti numeri
primi, ma non dei soli numeri primi. Per esempio il Teorema
di Dirichlet (Siano a, b due naturali primi tra loro. Allora la successione
aritmetica a+nb con n N contiene infiniti
numeri primi) dà infiniti numeri primi ma non tutti i numeri della sequenza
sono primi. Non sappiamo quindi determinare, se non con parecchi calcoli, se
un numero dato è primo. Ancora oggi il metodo più veloce per trovare tutti i
numeri primi inferiori ad un limite L prefissato è il crivello di Eratostene.
Si costruisce un elenco E degli interi compresi tra 2 e L. Si cancellano tutti
i multipli di 2 tranne 2. Si prende il primo numero non cancellato, che è 3,
e si cancellano tutti i suoi multipli (escluso lui stesso). Si continua così
fino alla parte intera della radice quadrata di L. I numeri superstiti sono
i numeri primi compresi tra 2 e L. Proviamo a scrivere l'elenco di tutti i numeri
primi compresi nell'intervallo da 2 a 100 ad esempio:
Si scrivono tutti i numeri naturali da 2 a 100
il primo numero è 2:
si cancellano tutti i multipli di 2 (2 escluso);
il primo numero che resta è 3:
si cancellano tutti i multipli di 3 (3 escluso);
il primo numero che resta è 5:
si cancellano tutti i multipli di 5
....
poiché la radice quadrata di 100 è 10, l'ultimo numero di cui cancellare i multipli è 7; una volta cancellati i multipli di 2, 3, 5, 7, i numeri che restano sono tutti e soli i numeri primi minori di 100.
Clicca qui per provare in azione il crivello di Eratostene.
Ogni numero naturale è completamente caratterizzato dai numeri primi di cui è composto.
4420 = 2·2·5·13·17 => la sequenza (2, 2, 5,13,17) è il numero 4420.
La scomposizione in fattori primi di un numero naturale è unica, a meno dell'ordine dei fattori. (Il teorema fondamentale dell'aritmetica)
Tutto quanto riportato in questa pagina è a puro scopo informativo personale. Se non ti trovi in accordo con quanto riportato nella pagina, vuoi fare delle precisazioni, vuoi fare delle aggiunte o hai delle proposte e dei consigli da dare, puoi farlo mandando un email. Ogni indicazione è fondamentale per la continua crescita del sito.