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L'insieme dei numeri interi relativi viene indicato con Z:
Z = {..-3,-2,-1, 0, +1, +2, +3, ... }
In generale, per rappresentare un numero negativo in una data
base b, basta premettere il segno - al valore assoluto del numero rappresentato
nella base b. Supponiamo però, come nel caso della rappresentazione dei numeri
in base 2 in un calcolatore, di non avere a disposizione un "segno" e di voler
rappresentare numeri di un numero prefissato di cifre, ad esempio 8 (1 byte).
Prendiamo come esempio il numero 000101102. Cambiando le cifre 1 con 0 e
viceversa (complemento a 1) si ottiene 11101001. Proviamo a sommarlo col numero
scelto:
0001 0110+
1110 1001=
1111 1111
Sommando ancora 1 a tale numero si ottiene 1 0000 0000 e poiché utilizziamo
solo 8 cifre, il primo 1 viene scartato (o considerato come carattere di overflow)
e si ottiene effettivamente 0. Tale metodo viene detto "complemento a 2" (anche
se in realtà si dovrebbe chiamare complemento a 1 "+1"); l'inverso di 00010110
è quindi 11101001+1=11101010.
I numeri positivi in questo caso sono quelli la cui cifra iniziale (più significativa) è 0, infatti i numeri rappresentabili sono 27; sono negativi invece quelli per cui tale cifra è 1 (e sono esattamente la metà).
Prendiamo ora come esempio la base 4. Consideriamo il numero
x = 00132021. Anche in questo caso facciamo il "complemento a b -1" cioè per
ogni cifra consideriamo quella, che sommata alla cifra stessa dà b -1. Nel nostro
esempio abbiamo 33201312. Facciamo la somma in colonna come prima, e, per come
abbiamo preso il numero,
0013 2021+
3320 1312=
3333 3333
Sommiamo 1 e abbiamo 33201312+1=33201313, che sommato ad x dà 1 0000 0000. Il
primo carattere viene perso (bit di overflow) e si ha 0. Anche in questo caso
è facile individuare i numeri positivi e negativi guardando la cifra più significativa:
se è 0 o 1 il numero è positivo, se è 2 o 3 il numero è negativo. In generale
se la base b è pari, l'individuazione della positività o meno del numero viene
fatta semplicemente guardano la cifra più significativa. Se questa è uguale
a una delle prime b/2 cifre (e b/2 è un intero) il numero è positivo, le altre
b/2 cifre individuano i numeri negativi. Ma se la base è dispari, ad esempio
5, guardando la cifra più significativa possiamo dire che per le prime b div
2 cifre (0 o 1) abbiamo un positivo, per le ultime b div 2 cifre (3 o 4) un
negativo, e per la cifra centrale non si può dire: bisogna guardare la successiva.
Ad esempio, in base 5, 22312234 è negativo, perché la prima cifra diversa da
2 è un 3 > b div 2.
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