La rappresentazione polinominale e posizionale di N

Con le dieci cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (Sistema decimale ) si rappresenta qualunque numero naturale. 10 è chiamato base del sistema di numerazione.
Si ha ad es. 4325 = 4·10³ + 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰.
Per ottenere i coefficienti delle successive potenze di 10 si può utilizzare il seguente algoritmo:
n div 10 = q0 , ---- n mod 10 = r0 ;
q₀ div 10 = q₁ , ---- q₀ mod 10 = r₁ ;
……………………..
q_h-1 div 10 = 0 , ----- q_h-1 mod 10 = r_h .
Si continua fino a che q_h =0:
Allora n = r_h ·10^h + r_h-1·10 ^h-1+ ...+ r₂·10² + r₁·10¹+ ...+ r₀·10⁰
è la rappresentazione polinomiale (in base 10) del numero naturale n.

Esempio
n = 4325 div 10 = 432, ----- 4325 mod 10 = 5
q₀ = 432 div 10 = 43,----- 432 mod 10 = 2
q₁ = 43 div 10 = 4, ----- 43 mod 10 = 3
q₂ = 4 div 10 = 0 ------ 4 mod 10 = 4
4325 = 4 ·10³ + 3·10 ²+ 2·10¹ + 5·10⁰

Se si conviene di non scrivere le potenze di 10 e i segni di somma, si ottiene la rappresentazione posizionale in base 10 di n, cioè la sequenza di cifre:

r_h r_h-1 ... r₂ r₁ r₀,

L'utilizzo della base 10 è del tutto arbitrario e convenzionale, un qualunque numero maggiore di 1 va bene;
in base 10 si hanno 10 cifre,
in base 5 si hanno cinque cifre (0, 1, 2, 3, 4),
in base 2 due cifre (0, 1)
in base 16 sedici cifre: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
se la base è maggiore di 16 si usa dividere le varie cifre con ":"
Ad esempio in base 60 (la base più comoda per gli orologi)
23:24:21:45:7₆₀=23×60⁴+24×60³+21×60²+45×60¹+7×60⁰
se fosse scritto così 232421457 non si capirebbe!!!

OSSERVAZIONE. È semplice passare dalla base b alla base b² e viceversa: basta raggruppare le cifre a gruppi di due e trasformare ciascun gruppo nell'unità corrispondente, ad esempio Il numero 120122100121₃ si trasformano in base 9 o in base 27 come segue e inversamente per il numero 734185₉ alla base 3.

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