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Consideriamo le strutture
algebriche caratterizzate da due operazioni
interne distinte che indichiamo con i simboli "@" e "#", e scriveremo (A, @,
#)
Diciamo che in (A, @, #) vale la proprietà distributiva della operazione # rispetto
alla operazione @ se per ogni a, b, c 
A risulta:
A#(b@c) = (a#b)@(a#c) (a@b)#c = (a#c)@(b#c)
Se # è commutativa, le due condizioni sono equivalenti.
In (A, @, #) indichiamo con n l'elemento neutro dell'operazione @
Diciamo che è un campo se sono soddisfatte le seguenti proprietà:
(A,@) è un gruppo abeliano.
(A-{n},#) è un gruppo abeliano.
Vale la proprietà distributiva dell'operazione # rispetto all'operazione @.
Dato che i campi più significativi sono i campi numerici, è consuetudine indicare
le due operazioni con i simboli + e x, e i rispettivi elementi neutri con 0
e 1.
Analogamente a quanto detto per i gruppi:
Si dice sottocampo di un campo (A, @, #) un sottoinsieme K di A che sia un campo
rispetto alle stesse operazioni definite in A.
Due campi (A, @, #) e (A',+,x) si dicono omomorfi se esiste una applicazione
f tra gli insiemi A e A' che conservo le operazioni, cioè tale che per ogni
x, yA risulti
f(x@y) = f(x) + f(y) f(x#y) = f(x) x f(y).
Si chiama nucleo di un omomorfismo f: (A, @, #) ® (A',+,x) il sottoinsieme
del dominio costituto da tutti gli elementi aA
tali che f(a) = u', essendo u' l'elemento neutro di A' rispetto a +.
Il nucleo
è indicato con ker(f ).
Il nucleo è sottocampo del dominio.
Esempi di campi: (Q,+,x), (R,+,x), (Zp,+,x) se p è primo.
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