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Un numero razionale si può rappresentare in forma decimale eseguendo la divisione del numeratore per il denominatore. Per esempio:
(si indica tra parentesi o con la soprallineatura il periodo).
la rappresentazione polinomiale (base 10) di un numero razionale è la seguente:
Vi sono numeri razionali che ammettono una rappresentazione decimale limitata e altri che ammettono una rappresentazione decimale illimitata.
Se r/b ammette una rappresentazione decimale limitata, allora si può esprimere come somma finita di frazioni aventi per denominatore le potenze negative di 10:
quindi r/b ammette una rappresentazione decimale limitata se
e solo se è equivalente a una frazione decimale cioè se b è un divisore di una
potenza di 10, il che avviene se contiene come fattori primi solo il 2 e il
5. In caso contrario la rappresentazione decimale sarà illimitata.
La rappresentazione decimale illimitata di un numero razionale è sempre periodica e il numero di cifre del periodo è, al più, b - 1.
Alcuni numeri razionali hanno una rappresentazione decimale che presenta, dopo il punto e prima del periodo, una o più cifre: l'antiperiodo. Per esempio:
Esiste antiperiodo nello sviluppo decimale di a/b , con MCD(a,b) = 1 se b è divisibile per 2 o 5.
Il numero di cifre dell'antiperiodo è il massimo tra l'esponente di 2 e l'esponente di 5 nella scomposizione in fattori primi di b.
Nota bene che due frazioni equivalenti hanno la stessa rappresentazione
decimale. l problema generale della determinazione del numero di cifre del periodo
della rappresentazione decimale di a/b è un problema non risolto, nel senso
che non si è mai trovata alcuna legge che determini, in funzione di a e b, questo
numero. Quello di cui si è a conoscenza è che il numero di cifre del periodo
della rappresentazione decimale di a/b dipende solo da b.
Si chiama gaussiano di b e si indica con g(b) il numero di cifre del
periodo di qualunque frazione a/b tale che MCD(a, b) = 1.
Per esempio g(7) = 6:
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