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In matematica una proposizione è una affermazione di cui si
possa dire in modo incondizionato se è vera o falsa.
5 è pari, 3 è primo, 2+2=4, …
Una affermazione la cui verità o falsità dipende dal valore assunto dalle variabili
in essa contenute è detta proposizione aperta.
X è primo, x + y = 2, ….
Una proposizione aperta è costituita da un predicato P e da una o più
variabili x, y, ...; pertanto la indichiamo con P(x, y,...). Consideriamo la
proposizione aperta P(x, y) a due variabili; se x assume valori nell'insieme
A e la variabile y nell'insieme B, diciamo che P(x, y) è definita sul prodotto
cartesiano A x B. Ricordiamo che dati due insiemi A e B, si definisce prodotto
cartesiano A x B l'insieme di tutte le coppie ordinate (x, y), x 
A e y B.
DEFINIZIONE. Siano A e B due insiemi non vuoti; ogni proposizione aperta P(x,
y) definita sul prodotto cartesiano A x B individua una relazione da A in B.
se P(x, y) è una proposizione vera, diremo che "a è in relazione con b" e scriveremo:
a
b
se P(a, b) è falsa, diremo che "a non è in relazione con b" e scriveremo
a
b
Sia una relazione in A. Se, per
ogni scelta degli elementi a, b, c A,
· a a. Allora
si dice riflessiva
· a b e b
c -> a c. Allora
si dice transitiva
· a b -> b
a. Allora si dice simmetrica
si dice antisimmetrica
se vale una delle due proprietà seguenti:
· a b e b
a -> a = b ( si dice antisimmetrica
debole)
· a b -> b
a ( si dice antisimmetrica
forte)
I due tipi principali di relazioni sono:
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