Matematica del continuo

Limiti

Se la funzione è il concetto di base per la matematica il limite è il concetto di base per le funzioni: infatti è il limite che ci permette di superare i paradossi dovuti all'insufficienza del concetto di punto perché ci permette di utilizzare il concetto di intervallo. Se considero un piccolo intervallo sull'asse delle x ad esso corrisponderà un intervallo più o meno piccolo sull'asse delle y; se quando restringo l'intervallo sull'asse delle x mi si restringe anche l'intervallo corrispondente sull'asse delle y allora ho un limite. In figura all'intervallo AB corrisponde l'intervallo A'B' ed all'intervallo più piccolo CD corrisponde un intervallo più piccolo in blu C'D'; allora posso avvicinarmi ad un punto quanto voglio: basta rendere sempre più piccolo l'intervallo sulle x. Poiché l'intervallo posso renderlo piccolo quanto voglio allora posso sostituirlo al concetto di punto.

Supponiamo che il grafico della funzione y = f (x) sia quello rappresentato in figura:

ed x₀ dominio di f (x). Conoscere la quantità

significa conoscere il comportamento di f(x) nell'intervallo (x₀ - , x₀ + ), ove > 0 è una quantità positiva, arbitraria e piccola a piacere. Dalla conoscenza dei valori in punti prossimi ad x₀ si può dedurre il comportamento di f(x) in x₀.

Sia quindi y = f (x) una funzione f: R R ed x₀ un punto del dominio, si dice che

se fissato un numero > 0, in corrispondenza di esso è possibile determinare un numero positivo (, x₀) ( dipende sia dal punto x₀ che dalla scelta di ) tale che x soddisfi la relazione:

Vale quindi la disequazione:

Siccome abbiamo a che fare con i numeri reali, vi sono situazioni in cui la definizione di limite deve essere riadattata:

• Quando x tende ad un valore finito e la funzione può tendere a più infinito, a meno infinito o ad infinito

  

• Quando ho un limite finito per x tendente ad più infinito, a meno infinito o ad infinito

  

• Quando ho un limite infinito per x tendente ad un valore infinito.

  

Nello studio dei limiti si ha spesso a che fare con intorni sinistri e destri del punto in cui vogliamo calcolare il limite. L'intorno destro di x₀ si indica con x₀⁺ ed è l'insieme dei punti che soddisfano la relazione , dove > 0 è una quantità positiva ed arbitraria. L'intorno sinsitro di x₀ si indica con x₀^- ed è l'insieme dei punti che soddisfano la relazione , dove > 0 è una quantità positiva ed arbitraria. Si noti che le definizioni precedenti di limite si adottano anche a queste situazioni.

Per saperne di più consulta i seguenti approfondimenti:

• Proprietà dei limiti e forme di indecisione

• Limiti notevoli

• Continuità e discontinuità di una funzione

• Infinitesimi ed infiniti

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