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Come in N, dati x, y 
Z, con y 
0; esistono due numeri
q, r Z, con 0 =< r < | y |, tali che
x = q y + r. È possibile estendere a Z la
definizione delle operazioni div e mod di N, ponendo:
q = x div y |
r = x mod y |
Diremo che a, b Z
sono congrui modulo n, e scriveremo a 
b (mod n), se e solo se a mod n = b mod n. Cioè a e b sono
congrui modulo n se, divisi per n, danno lo stesso resto.
Poiché la congruenza modulo n è una relazione di
equivalenza, è possibile suddividere l'insieme Z in classi di equivalenza
ciascuna delle quali contiene tutti i numeri interi congrui tra loro modulo
n. L'insieme quoziente Zn = Z/ ha
per elementi le classi di equivalenza, chiamate classi di resto modulo n:
[0], [1], [2], ..., [n - 1]
Se, modulo n, a
b e c d, allora a + c
b + d e a·c b·d. Conseguenze immediate
di questo teorema sono le proprietà seguenti:
a + b (a mod n) + (b mod n) (mod n)
a · b (a mod n)·(b mod n) (mod n)
Per esempio, modulo 7:
26 + 53 (26 mod 7) + (53 mod 7) 5 + 4 2,
26·53 (26 mod 7)·(53 mod 7) 5·4 6.
In Zn esiste l'elemento neutro della somma:
è [0].
In Zn esiste l'elemento neutro del prodotto: [1].
Per ogni z Zn esiste l'opposto
(l'inverso rispetto alla somma), cioè l'elemento z' Zn
tale che z + z' = [0]: l'opposto di [a] è [n - a]. In Zn non vale
in generale la legge di annullamento del prodotto: se a·c
b·c (mod n) non è detto che a
b (mod n). Infatti in Zn, con n non primo, per esempio n = 6, [3]·[2]
= [3]·[4], ma 2 4. In Z5
osserviamo che ogni elemento diverso da [0] possiede l'inverso (rispetto al
prodotto). Infatti [2]·[3] = [1]
[4]·[4] = [1]
[1]·[1] = [1].
Ricordiamo che [1] è l'elemento neutro del prodotto. Questo non vale però in
Z6. Vi sono quindi delle condizioni in cui si ha l'inverso rispetto
al prodotto.
Per saperne di più consulta i seguenti approfondimenti:
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