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Nelle numerosi applicazioni della matematica, allo studio di problemi pratici, si presenta spesso la questione di determinare una o più funzioni a partire da certi dati assegnati. Supponiamo che una funzione y = f(x) esprima un dato fenomeno, e che studiando questo fenomeno non è possibile stabilire direttamente una dipendenza tra y e x, ma si può stabilire una dipendenza tra x ,y e le derivate di y. Ciò significa che si può scrivere un'equazione differenziale. Il più semplice esempio di equazione differenziale è l'integrale. Infatti la radice di una primitiva di una funzione assegnata y = f(x) si traduce nella relazione:
Assegnare un'equazione differenziale significa quindi fornire un legame tra la variabile indipendente "x", la variabile dipendente "y" e le derivate di y(x). In generale si scriverà:
L'equazione differenziale ordinaria precedente si dice di ordine "n" se in essa compare la derivata di ordine "n". L'aggettivo "ordinaria" sta a indicare che la funzione incognita y dipende dalla sola variabile x. Se si tratta di trovare la primitiva di una funzione assegnata y = f(x) tra le infinite primitive, dobbiamo individuare quella che passa per un punto assegnato y(x0) = y0 ,nel nostro caso:
Determinato y(x), si ottiene un'infinità di soluzioni, per poter determinare quella che passa per un punto assegnato è necessario fornire le cosi dette condizioni iniziali (problema di Cauchy). Pertanto un'equazione differenziale potrà essere schematizzata nel seguente modo:
Per saprene di più vedi:
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