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Sia y = f(x) una funzione continua e derivabile definita in
(a, b), con derivate continue fino all'ordine k ( si dice che f(x) è una funzione
di classe 
). A tale funzione è possibile associare un
polinomio nel punto x0 
(a,b,)
così definito:
dove f alla k(x0) indica la derivata di ordine k di f(x) valutata in x0.
Per definizione si pone 0! = 1
Il polinomio Pk(x) si chiama polinomio di Taylor associato alla funzione y = f(x) e corrisponde allo sviluppo di f(x) arrestata all'ordine k. Tale sviluppo vale in tutti i punti dell'intervallo (a,b) in cui la funzione è definita. In sostanza il polinomio precedente costituisce una approssimazione di f(x) nell'intorno di x0 . Si tratta ora di valutare l'errore che si commette in x0 , sostituendo f(x) con il polinomio di Taylor Pk(x).
Teorema: Se y = f(x) definita in (a,b) è di classe ck
ed è dotata anche di derivata di ordine k+1 in (a,b), comunque si fissino x0
e x in (a,b) esiste un punto 
tale che 
in modo che l'errore sia dell'ordine:
nel caso in cui il punto x0 sia nullo si ottiene la formula di McLaurin:
Vediamo alcuni esempi:
Dagli sviluppi in serie di y = senx, y = cosx, e y = ex
si deduce immediatamente la forma
esponenziale di un numero
complesso . Se poniamo 
e lo sostituiamo in ex
otteniamo:
Come si può notare il primo termine tra parentesi è lo sviluppo
di cos
, mentre il secondo termine è lo sviluppo di sin
. Siccome sin , cos
ed e approssimano nel loro sviluppo un valore ben preciso in tutti i punti,
in generale si può scrivere:
questa equazione è la forma esponenziale di un numero complesso.
Vediamo alcuni esempi di come tali successioni giustificano alcuni limiti notevoli:
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