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Abbiamo l'equazione differenziale lineare di I° ordine y'
= g(x)y + h(x). Essendo h(x)
0
l'equazione non è omogenea. Allora alla equazione precedente associamo l'equazione
omogenea y' = g(x)y. Tale equazione è a variabili separabili e la sappiamo integrare:
Ovviamente tale funzione non soddisfa l'equazione di partenza. L'idea di Lagrange consiste nel cercare le soluzioni dell'equazione di partenza nella classe di funzioni del tipo:
Mentre nell' equazione omogenea si ricava A costante, ora A è stata supposta funzione di x: A = A(x). Derivando la funzione si ha:
Sostituendo nell'equazione di partenza y' = g(x)y + h(x) si ottiene:
Di seguito alcuni esempi:
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